giới hạn của dãy số

1.  Lý thuyết giới hạn của dãy số

1.1. Dãy số đem số lượng giới hạn 0

Định nghĩa: Nếu với từng số dương nhỏ tùy ý  từng số hạng của sản phẩm số, Tính từ lúc một vài hạng này cơ trở cút, đều sở hữu độ quý hiếm vô cùng nhỏ rộng lớn số dương cơ thì sản phẩm số (un) cơ đem số lượng giới hạn 0.

Bạn đang xem: giới hạn của dãy số

Tính chất:

$lim \frac{1}{n}=0; lim\frac{1}{n^{\alpha}}=0(\alpha>0); limq^{n}=0(\left | q \right |<1)$

Định lý:

$u_{n},v{n}:\left\{\begin{matrix} \left | u_{n} \right | \leq v_{n}\\ lim(v_{n})=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow lim \, u_{n}=0$

1.2. Dãy số đem số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Dãy số đem số lượng giới hạn hữu hạn là sản phẩm số lim (un – L) = 0(L là số thực) 

Tính chất:  

• $u_{n}=c$, đem số lượng giới hạn là c;

• $lim \,u_{n}=L \Leftrightarrow \left | u_{n}-L \right |$ bên trên trục số từ thực điểm $u_{n}$ cho tới L trở thành nhỏ từng nào cũng khá được miễn sao n đầy đủ lớn

Nói một cơ hội hình hình họa khi N tăng thì những điểm $u_{n}$ “chụm lại” 

• Không cần sản phẩm số này cũng đều có số lượng giới hạn hữu hạn

Định lý:

• Với $lim(u_{n})=L$ thì tao đem lăm le lý:

$lim\left | u_{n} \right |=\left | L \right |$ và $lim\sqrt[3]{u_{n}}=\sqrt[3]{L}$.

Nếu $u_{n}\geq 0$ với $\forall n$ thì $L\geq 0$ và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{L}$

• Nếu $lim\, u_{n}=L, lim\, v_{n}=M$ và c là một trong hằng số thì tao hoàn toàn có thể suy ra

$lim(u_{n}+v_{n})=L+M$

$lim(u_{n}-v_{n})=L-M$

$lim(u_{n},v_{n})=LM$

$lim(cu_{n})=cL$

$lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{L}{M}$(nếu $M\neq 0$)

1.3. Dãy số đem số lượng giới hạn vô cực

1.3.1. Dãy số đem số lượng giới hạn $+\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số dương tuỳ ý cho tới trước, từng số hạng của sản phẩm số, Tính từ lúc một vài hạng này cơ trở cút, đều to hơn số dương cơ thì tao gọi này đó là sản phẩm số $(u_{n})$ đem số lượng giới hạn $+\infty$

Hay tao hoàn toàn có thể hiểu, $lim \, u_{n}=+\infty$ vô tình huống $u_{n}$ hoàn toàn có thể to hơn một vài dương rộng lớn tuỳ ý, Tính từ lúc số hạng này cơ trở đi

Tính chất: 

$lim\sqrt{u_{n}}=+\infty$

$lim\sqrt[3]{u_{n}}=+\infty$

$lim\,n^{k}=+\infty$ với một vài nguyên vẹn dương k cho tới trước

Trường ăn ý đặc biệt: $lim \, q^{n}=+\infty$

$lim \, q^{n}=+\infty$ nếu q > 1

1.3.2. Dãy số đem số lượng giới hạn $-\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số âm tuỳ ý cho tới trước, từng số hạng của sản phẩm số, Tính từ lúc một vài hạng này cơ trở cút, đều nhỏ rộng lớn số âm cơ thì tao trình bày này đó là sản phẩm số đem số lượng giới hạn $-\infty$

Ký hiệu:  $lim \, u_{n}=-\infty$

Hay t hoàn toàn có thể hiểu, $lim \, u_{n}=-\infty$ nếu un hoàn toàn có thể nhỏ rộng lớn một vài âm nhỏ tùy ý.

Tính chất: 

$lim\, u_{n}=-\infty \Leftrightarrow lim(-u_{n})=+\infty$

Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì un trở thành rộng lớn từng nào cũng khá được miễn n đầy đủ rộng lớn. Do cơ $\left | \frac{1}{u_{n}} \right |=\frac{1}{\left [ u_{n} \right ]}$ trở thành nhỏ từng nào cũng khá được, miễn n đầy đủ rộng lớn. Nói cách thứ hai, nếu như limun=+ thì lim 1un=0

• Định lý: Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì $lim\frac{1}{u_{n}}=0$

Tham khảo ngay lập tức cỗ tư liệu ôn tập luyện kiến thức và kỹ năng và tổ hợp cách thức giải từng dạng bài bác tập luyện vô đề thi đua Toán trung học phổ thông Quốc gia

2. Các dạng toán về giới hạn của dãy số và ví dụ

2.1. Dạng 1: Tính số lượng giới hạn sản phẩm số được cho tới vị công thức.

Ví dụ 1: Tìm $lim(n^{3}-2n+1)$?

Lời giải:

Ta có: $n^{3}-2n+1=n^{3}(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}$

Vì $lim\, n^{3}=+\infty$ và $lim(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}=1>0$ nên theo đuổi quy tắc 2, $lim(n^{3}-2n+1)=+\infty$

Ví dụ 2: Tìm $lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}$

Lời giải:

$lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}=lim\sqrt[3]{8-\frac{3}{n}}=\sqrt[3]{8}=2$

Ví dụ 3: 

a. Tìm $A=lim\frac{2n^{2}+3n+1}{3n^{2}-n+2}$

b. Tìm $B=\frac{n^{3}-3n^{2}+2}{n^{4}+4n^{3}+1}$

Lời giải:

2.2. Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số cho tới vị hệ thức truy hồi

Ví dụ 1: Cho sản phẩm số $(u_{n})$ được xác lập vị $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ với từng n ≥ 1. sành sản phẩm số $(u_{n})$ đem số lượng giới hạn hữu hạn, tính $lim\, u_{n}$

Lời giải:

Đặt $lim\, u_{n}=L \Rightarrow L=lim\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ 

$\Rightarrow L^{2}-L-2=0\Rightarrow L=2$ hoặc L = -1( loại)

Vậy $lim\, u_{n}=2$

Ví dụ 2: Cho $(u_{n})$ đem $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải:

Sử dụng cách thức quy hấp thụ tao chứng tỏ được $u_{n}>0 \forall n$

Tuy đề bài bác ko cung ứng tài liệu là sản phẩm số $(u_{n})$có số lượng giới hạn hữu hạn hay là không tuy nhiên nom đáp án đề bài bác cho thật đều là những số lượng giới hạn hữu hạn. Nhớ cơ, tao thể xác minh được sản phẩm số $(u_{n})$ đem số lượng giới hạn hữu hạn.

Đặt $lim\, u_{n}=L\geq 0$

$lim\, u_{n+1}=lim\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$

Hay $L=\frac{1}{2}(L+\frac{2}{L})\Rightarrow L=\frac{2}{L}\Rightarrow L^{2}=2\Rightarrow L=\sqrt{2}$

Vậy $lim\, u_{n}=\sqrt{2}$ 

Ví dụ 3: Cho sản phẩm số $(u_{n})$ xác lập vị $u_{1}=1$ và $u_{n+1}=2u_{n}+\frac{1}{2}$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải: 

$v_{n}=u_{n}+\frac{1}{2}$. Ta có: $v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2u_{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2(u_{n}+\frac{1}{2})=2v_{n}$

$\Rightarrow (v_{n})$ là cung cấp số nhân đem $v_{1}=\frac{3}{2}$ và q = 2. Vậy $v_{n}=\frac{3}{2}.3^{n-1}=3.2^{n-2}$

Do cơ $lim\, v_{n}=lim(3.2^{n-2})=+\infty$

2.3. Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số chứa chấp căn thức

Ví dụ 1: Tính $lim\sqrt{n^{2}+2n}-n$ 

Lời giải: 

$lim(\sqrt{n^{2}+2n-n}=lim\frac{(\sqrt{n^{2}+2}n)+(\sqrt{n^{2}+2n}-n)}{(\sqrt{n^{2}+2n}+n)}=lim\frac{n^{2}+2n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}$

$=lim\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=lim{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{1+1}=1$

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của $I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$

Lời giải: 

$I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$
$=lim\frac{(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)}{\sqrt{n^{2}-2n+3}-n}$
$=lim\frac{(n^{2}-2n+3)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2n+3}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2+\frac{3}{n}}{\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}}+1}$
$=\frac{-2}{\sqrt{1}+1}=-1$

Ví dụ 3: Tìm $lim(n-\sqrt[3]{n^{3}+3n^{2}+1}$

Lời giải:

2.4 Dạng 4: Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ

Ví dụ 1: Cho a = 2.151515..., số a còn được màn trình diễn bên dưới dạng $a=\frac{m}{n}$, (m,n là những số nguyên vẹn dương). m + n =?

Lời giải: 

Ta có: $a=2,151515...=2+\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$

Vì $\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$ là tổng của csn lùi vô hạn với $u_{1}=\frac{15}{100},q=\frac{1}{100}$

Xem thêm: Vì sao tủ lạnh có thể phát nổ?

$\Rightarrow a=2+\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{71}{33}$

Vậy $m=71, n=33 \Rightarrow m+n=104$

Ví dụ 2: Bài cho tới số thập phân vô hạn tuần trả đem dạng 0,32111... Cũng được ghi chép bên dưới dạng phân số tối giản là $\frac{a}{b}$ (a,b là những số nguyên vẹn dương). a - b =?

Lời giải:

Ta có:

$0,3211...=\frac{32}{100}+\frac{1}{10^{3}}+\frac{1}{10^{4}}+\frac{1}{10^{5}}+...=\frac{32}{100}+\frac{\frac{1}{10^{3}}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{289}{900}$
Vậy a = 289, b = 900 Do cơ, a - b = -611

Ví dụ 3: Tính $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]$

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$

Vậy $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]=lim\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}$

2.5 Dạng 5: Tính giới hạn của dãy số chứa chấp lũy quá - mũ 

Ví dụ 1: $lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=?$

Lời giải:

$lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=lim\frac{4(\frac{4}{8})^{n}+36(\frac{6}{8})^{n}}{(\frac{5}{8})^{n}+1}=0$

Ví dụ 2: $lim\frac{2^{n}-3^{n}}{2^{n}+1}=?$

Lời giải:

Ví dụ 3: $lim(3.2^{n}-5.3^{n}+7n)=?$

Lời giải:
$lim(3.2^{n}-5.3{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7)=-\infty$

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô ôn tập luyện và thiết kế suốt thời gian ôn thi đua trung học phổ thông môn Toán sớm đạt 9+

3. Một số bài bác tập luyện về giới hạn của dãy số kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên (Có điều giải)

Ví dụ 1: Xác lăm le những số lượng giới hạn cho tới lưới đây:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}$

Lời giải:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}=lim\frac{n(6-\frac{1}{n})}{n(3+\frac{2}{n})}=lim\frac{6-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}=\frac{6-9}{3-0}=2$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}=limn23+1n-5n2n23+2n=lim{3+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{3}{2}$

Ví dụ 2: lim(5ⁿ - 2ⁿ)

Lời giải:

Ta có: $5^{n}-2^{n}=5^{n}(1-(\frac{2}{5}^{n})$

Vì $lim5^{n}=+\infty$ và $lim(1-(\frac{2}{5}^{n})=1>0$ nên theo đuổi quy tắc 2, $lim(5^{n}-2^{n})=+\infty$

Ví dụ 3: Tìm lim(3.2ⁿ⁺¹ - 5.3ⁿ + 7n) =?

Lời giải: 

$lim(3.2^{n+1}-5.3^{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7\frac{n}{3^{n}}=-\infty$
Ví dụ 4: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập u₁=0, u₂=1, u_n+1=2u_n-u_n-1+2 với từng $n\geq 2$. Tìm lim u_n?

Lời giải: 

Giả sử sản phẩm số bên trên đem số lượng giới hạn hữu hạn gọi  là L

$\Rightarrow lim\,u_{n}=2lim\,u_{n}-lim\,u_{n-1}+2\Leftrightarrow L=2L-L+2\Leftrightarrow 0=2$ ( Vô lý)

Vậy hoàn toàn có thể Dự kiến sản phẩm số đem số lượng giới hạn vô rất rất. Nhìn vô đáp án tao thấy đem nhị đáp án vô rất rất ($-\infty$ và $+\infty$), vậy ko thể đoán là đáp án này. Ta coi nhị cơ hội giải sau.

Ta có: u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 4, u₄ = 9. Vậy tao hoàn toàn có thể Dự kiến u_n = (n - 1)² với $\forall n\geq 1$. Khi cơ, 

u_n+1 = 2u_n - u_n-1 +2 = 2(n - 1)² - (n - 2² + 2) = n²

= [(n - 1) - 1]²

Vậy $u_{n}=(n-1)^{2}$ với $\forall n\geq 1$. Do cơ, $lim\,u_{n}=lim(n-1)^{2}=+\infty$

Ví dụ 5: Cho sản phẩm số (u_n) với $u_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{2}$. Tìm lim u_n

Lời giải:

u_n là tổng n số hạng thứ nhất của một cung cấp số nhân đem $u_{1}=\frac{1}{2}$ và $q = \frac{-1}{2}$

Do cơ $u_{n}=\frac{1}{2}.\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-(\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n}\Rightarrow lim\,u_{n}=lim\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n})=\frac{1}{3}$

Ví dụ 6: Tìm $lim\, u_{n}$, với $u_{n}=\frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}$.

Lời giải:

Ta có: $1+2+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow \frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}=\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}$

$\Rightarrow lim\, u_{n}=lim\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}=\frac{1}{2}$

Ví dụ 7: Tìm $lim\frac{1+5+9+...+4n-3}{2+7+12+...+5n-3}$

Lời giải:

Tử thức là tổng của n số hạng thứ nhất của cung cấp số nằm trong (u_n) với n = 1, u_n = 4n -3 và công bội d = 4

Do cơ 1+ 5 + 9 +....+ 4n - 3 = 

Tương tự động tao cũng đều có 2 + 7 + 12 +...+ 5n - 3 = 

Như vậy 

Ví dụ 8: Tìm $D=lim\sqrt{n^{2}+2n}-\sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}}$ 

Lời giải:

Ta có: 

D = 

= 

= 

Ví dụ 9: Thực hiện tại tô điểm lại mái nhà của tớ, chú mèo Tom đưa ra quyết định tô màu sắc một miếng vải vóc hình vuông vắn cạnh vị 1, mèo Tom tô màu sắc xám những hình vuông vắn nhỏ được đặt số theo thứ tự là 1 trong, 2, 3,., n,.., sành cạnh của hình vuông vắn trước gấp hai cạnh hình vuông vắn sau nó (Giả sử tiến độ tô màu sắc của mèo Tom hoàn toàn có thể ra mắt vô hạn).

a. Xác lăm le u₁,u₂,u₃ và u_n

b. Tính lim $S_{n}$ với S_n=u₁+u₂+u₃+...+u_n

Lời giải:

a. $u_{1}=\frac{1}{4}, u_{2}=\frac{1}{4}.(\frac{1}{4})=\frac{1}{4^{2}},..., u_{n}=\frac{1}{4^{n}}$

b. $lim S_{n}=lim14+142+...+14n=141-14=13$

Ví dụ 10: Tìm $lim(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n})$

Lời giải: 

Tham khảo ngay lập tức một vài dạng bài bác tập luyện thông thường bắt gặp về số lượng giới hạn hàm số với những thầy cô VUIHOC ngay

 Bài ghi chép bên trên đang được trình làng cho những em phần lý thuyết cơ bạn dạng và những dạng bài bác về giới hạn của dãy số. Đây là một trong phần kiến thức và kỹ năng khó khăn và cần thiết vô lịch trình toán 11 nên nhằm đạt được sản phẩm rất tốt những em học tập rất cần phải nắm vững lý thuyết và tập luyện thêm thắt những dạng bài bác tập luyện. Các em học viên hoàn toàn có thể truy vấn nền tảng Vuihoc.vn và ĐK thông tin tài khoản nhằm luyện đề ngay lập tức thời điểm hôm nay nhé!

Bài ghi chép xem thêm thêm:

• Cấp số nhân
• Cấp số cộng