Bách khoa toàn thư phanh Wikipedia
Bài này viết lách về bất đẳng thức tầm nằm trong và tầm nhân. Đối với bất đẳng thức vô tích vectơ, coi Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Bạn đang xem: bất đẳng thức am gm
Trong toán học tập, bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức đối chiếu thân ái tầm nằm trong và tầm nhân của n số thực không âm. Tên gọi chính của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Vì có không ít phương pháp để chứng tỏ bất đẳng thức này tuy nhiên cơ hội chứng tỏ quy hấp thụ của Cauchy được nhận xét là hiệu suất cao nhất nên nhiều người lầm lẫn rằng Cauchy trị xuất hiện bất đẳng thức này. Ông đơn giản người thể hiện cơ hội chứng tỏ rất rất hoặc của tớ chứ không cần cần là kẻ trị xuất hiện trước tiên. Theo cơ hội gọi thương hiệu cộng đồng của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky mang tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy mang tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).
Tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]
Bất đẳng thức AM-GM có thể được tuyên bố như sau:
- Trung bình nằm trong của n số thực không âm luôn luôn to hơn hoặc vày tầm nhân của bọn chúng, và tầm nằm trong chỉ vày tầm nhân Lúc và chỉ Lúc n số bại đều bằng nhau.
- Với 2 số thực ko âm a và b:
- Dấu "=" xẩy ra Lúc và chỉ Lúc
- Với 3 số thực ko âm a, b và c:
- Dấu "=" xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b = c
-
- Với n số thực ko âm:
- , với n là số bất ngờ to hơn 1
- Dấu "=" xẩy ra Lúc và chỉ Lúc
![{\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{abc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2bcba0f5ef44a72f10e5f882beee94da3089e2)
![{\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[ {n}]{x_{1}.x_{2}.....x_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6781cf75b2abc8a64a89d269c6f9e3e5eb81ff)
Trung bình sở hữu hệ số :[sửa | sửa mã nguồn]
Cho n số x1, x2,..., xn ≥ 0 và những thông số α1, α2,..., αn > 0
Đặt .
Bất đẳng thức tầm nằm trong và tầm nhân cũng như nếu như nhì độ quý hiếm tầm sở hữu thông số, như sau:
![{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[ {\alpha }]{x_{1}^{{\alpha _{1}}}x_{2}^{{\alpha _{2}}}\cdots x_{n}^{{\alpha _{n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2b91d2be246172de86935612405045be57ce99)
Dấu " = " xẩy ra Lúc và chỉ Lúc
Với những loại tầm khác :[sửa | sửa mã nguồn]
Trung bình điều tiết ≤ tầm nhân ≤ tầm cộng
![{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}...x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fed87bec2e65793951229036ceefc556a456f41)
Đẳng thức Lúc và chỉ Lúc
Ví dụ ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]
Cho hàm số sau:
![f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {{\frac {y}{z}}}}+{\sqrt[ {3}]{{\frac {z}{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f82a8b0a26a3c022023901ce2c13231b8a9a7e)
Với x, y và z là những số thực dương. Giả sử rằng tớ cần lần độ quý hiếm nhỏ nhất của hàm số đang được mang đến. Biến thay đổi và vận dụng bất đẳng thức Cauchy tớ có:
![=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {y}{z}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {y}{z}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {z}{x}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {z}{x}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {z}{x}}}}}{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f295c9e2335dc26a27592a449a62e4a3237c03)
![\geq 6\cdot {\sqrt[ {6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {y}{z}}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {y}{z}}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {z}{x}}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {z}{x}}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {z}{x}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea06ac4a8acf5bcd4608a8272f76a95ae22dce2b)
![=6\cdot {\sqrt[ {6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00ca90dd7f58d1969bbeb6d2810005b81dbcac0)
Vậy tớ có mức giá trị nhỏ nhất của:
![f(x,y,z){\mbox{là}}2^{{2/3}}\cdot 3^{{1/2}}\quad {\mbox{khi}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {y}{z}}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {z}{x}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fd8194da09ac7ac84eb50ffd96cf2f65124433)
Chứng minh vày quy nạp[sửa | sửa mã nguồn]
Đặt:
bất đẳng thức tương tự với
x1,...,xn là những số thực ko âm, tớ có:
dấu vày xẩy ra nếu như μ = xi với từng i = 1,...,n.
Chứng minh sau đây vận dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập.
Cơ sở: với n = 1 bất đẳng thức chính.
Giả thiết quy nạp: fake sử rằng bất đẳng thức chính với n (n ≥ 1).
Quy nạp: xét n + 1 một vài thực ko âm. Ta có:
Nếu toàn bộ những số đều vày μ, thì tớ sở hữu đẳng thức và được chứng tỏ. trái lại, tớ tiếp tục tìm kiếm được tối thiểu một vài nhỏ rộng lớn μ và một vài to hơn μ, ko tổn thất tính tổng quát tháo, coi rằng: xn > μ và xn+1 < μ. Ta có:
Xét n số sau:
- với
cũng là số ko âm. Từ đó:
μ cũng chính là tầm nằm trong của và theo đòi fake thuyết quy hấp thụ tớ có:
Mặt không giống kể từ (*) tớ có:
hay là
hiển nhiên μ > 0. Nếu sở hữu tối thiểu 1 trong những x1,...,xn−1 vày ko, tớ thường thấy bất đẳng thức chính và vết vày ko xẩy ra. trái lại, kể từ (**) và (***) tớ có:
bất đẳng thức được chứng tỏ.
Chứng minh mang đến tình huống ko hệ số[sửa | sửa mã nguồn]
Trường ăn ý n = 2[sửa | sửa mã nguồn]
Với từng thực , tớ luôn luôn có:
Trường ăn ý n = 2k[sửa | sửa mã nguồn]
Giả sử
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}{k}}\geq {\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2534eb92a4c999d48f04956d02b46b61f1f699f)
Ta có:
Xem thêm: Loại lá hồi sinh được người Nhật săn đón nhưng rất rẻ ở Việt Nam
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{2k}\geq k{\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{\sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k}}}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f862b1c28335fd1228c14f221fb30323faedc8e)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với tình huống , tớ lại có:
![{\displaystyle k{\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{\sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k}}}\geq 2k{\sqrt[{2k}]{x_{1}x_{2}...x_{2k}}}(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0df47de9ce1896ade56a3955f95914774b8327)
Từ và , tớ đạt được bất đẳng thức:
- (đpcm)
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{2k}\geq 2k{\sqrt[{2k}]{x_{1}x_{2}...x_{2k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696433457cc7c02f6990d29955ce392d1b76f133)
Trường ăn ý n = 2k - 1[sửa | sửa mã nguồn]
Giả sử
![{\textstyle {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{k}}{k}}\geq {\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa30ffa46c4941c086971d041cd962878d149b2a)
Ta có:
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+x_{k+2}...+x_{2k-1}+{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}\geq k{\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{\sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...x_{2k-1}{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0feb956ab14cb4fd7810e4a84e340b01464766e)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với tình huống , tớ lại có:
![{\displaystyle k{\sqrt[{k}]{x_{1}x_{2}...x_{k}}}+k{\sqrt[{k}]{x_{k+1}x_{k+2}...{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}}\geq 2k{\sqrt[{2k}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}}=2k{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566435c09c876e0775052be40b05cd74953e06e8)
Từ và , tớ có:
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+...+x_{k}+x_{k+1}+...+x_{2k-1}+{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}\geq 2k{\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345c43084e549863d6089aa2cbec00d0da250fe0)
Cuối nằm trong, tớ được bất đẳng thức:
- (đpcm)
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}...+x_{2k-1}\geq (2k-1){\sqrt[{2k-1}]{x_{1}x_{2}...x_{2k-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267d2187304e981bc1369238314de4e72e535d05)
Chứng minh của Pólya[sửa | sửa mã nguồn]
George Pólya thể hiện một chứng tỏ mang đến bất đẳng thức như sau:[2]
Gọi f(x) = ex−1 − x, sở hữu đạo hàm f'(x) = ex−1 − 1. Ta thấy f'(1) = 0 và kể từ bại f có mức giá trị nhỏ nhất bên trên f(1) = 0. Từ bại x ≤ ex−1 so với từng số thực x.
Xét một mặt hàng những số thực ko âm với tầm nằm trong μ. sít dụng bất đẳng thức phía trên tớ có:
Nhưng số nón hoàn toàn có thể rút gọn gàng thành:
Trở lại (1),
và tương tự với:
![a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\leq \mu ^{n}\implies {\sqrt[ {n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\leq \mu .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cf401191a40d77b1f5e876f6421d8b27605208)
Chứng minh của Cauchy[sửa | sửa mã nguồn]
Các tình huống toàn bộ những độ quý hiếm vày nhau[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu toàn bộ những độ quý hiếm vày nhau:
tức tổng bọn chúng là nx1, bởi vậy độ quý hiếm tầm nằm trong là x1; và tích những số bên dưới căn bậc nhì là x1n, vì thế dó độ quý hiếm tầm nhân thời điểm này là x1; chính vì vậy, vế một và vế nhì đều bằng nhau, điều cần chứng tỏ.
Các tình huống những độ quý hiếm ko vày nhau[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu toàn bộ những độ quý hiếm đều bằng nhau ko đều bằng nhau, thì độ quý hiếm tầm nằm trong to hơn độ quý hiếm tầm nhân. Rõ ràng, điều này chỉ hoàn toàn có thể xẩy ra Lúc n > 1. Trường ăn ý này khá phức tạp và được chia nhỏ ra nhiều tình huống nhằm chứng tỏ.
Trường ăn ý n = 2[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu n = 2, tức sở hữu nhì độ quý hiếm x1 và x2, và kể từ fake thiết phía trên, tớ có:
![{\begin{aligned}x_{1}&\neq x_{2}\\[3pt]x_{1}-x_{2}&\neq 0\\[3pt]\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}&>0\\[3pt]x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&>0\\[3pt]x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&>4x_{1}x_{2}\\[3pt]\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}&>4x_{1}x_{2}\\[3pt]{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}&>x_{1}x_{2}\\[3pt]{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}&>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e02b3e328bdd83f3976f7eaeb2ce2a6e91ba24c)
Ta sở hữu điều cần chứng tỏ.
Trường ăn ý n = 2k[sửa | sửa mã nguồn]
Xem xét những tình huống n = 2 k, với k là một vài nguyên vẹn dương. Chúng tôi tổ chức vày quy hấp thụ toán học tập.
Trong tình huống cơ phiên bản, k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã và đang được chứng tỏ phía trên.
Khi, sở hữu một độ quý hiếm k > 1 ngẫu nhiên, fake sử rằng bất đẳng thức chính với n = 2k−1, và cần thiết chứng tỏ rằng nó vẫn đúng vào khi n = 2k. Để thực hiện vì vậy, công việc được triển khai như sau:
![{\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{{2^{k}}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{{2^{{k-1}}}}}{2^{{k-1}}}}+{\frac {x_{{2^{{k-1}}+1}}+x_{{2^{{k-1}}+2}}+\cdots +x_{{2^{k}}}}{2^{{k-1}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[ {2^{{k-1}}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{{2^{{k-1}}}}}}+{\sqrt[ {2^{{k-1}}}]{x_{{2^{{k-1}}+1}}x_{{2^{{k-1}}+2}}\cdots x_{{2^{k}}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[ {2^{{k-1}}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{{2^{{k-1}}}}}}{\sqrt[ {2^{{k-1}}}]{x_{{2^{{k-1}}+1}}x_{{2^{{k-1}}+2}}\cdots x_{{2^{k}}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[ {2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{{2^{k}}}}}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd6928892a3005edcf7c6ef1cc3137782eecb08)
với bất đẳng thức trước tiên, nhì mặt mũi đều đều bằng nhau chỉ Lúc cả nhì điều sau đấy là đúng:
(Trong tình huống này, tầm số học tập loại nhất và tầm nhân loại 1 vày x1, và tương tự động với tầm số học tập loại nhì và tầm nhân loại 2); và vô bất đẳng thức loại nhì, Hai mặt mũi chỉ đều bằng nhau nếu như nhì độ quý hiếm tầm đều bằng nhau. Vì ko cần toàn bộ nhì k đều đều bằng nhau, ko thể cho tất cả nhì bất đẳng thức được đẳng, chính vì vậy tất cả chúng ta biết rằng:
![{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{{2^{k}}}}{2^{k}}}>{\sqrt[ {2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{{2^{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1e238754f3dcedd3256c0d60cee9dcd27aa14a)
(điều cần bệnh minh).
Trường ăn ý n < 2k[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu n ko cần là 1 hàm nón bất ngờ cơ số 2, thì nó chắc chắn là là nhỏ rộng lớn một vài này bại theo đòi hàm nón bất ngờ cơ số 2, vì như thế chuỗi 2, 4, 8,..., 2k,... không biến thành ngăn bên trên. Do bại, tuy nhiên ko tổn thất tính tổng quát tháo, với m độ quý hiếm tuân theo đòi hàm nón bất ngờ cơ số 2 to hơn n.
Vì vậy, nếu như tớ sở hữu n số, thì tớ hoàn toàn có thể màn trình diễn độ quý hiếm tầm nằm trong α, và được không ngừng mở rộng như sau:
Sau bại tớ có:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\biguplus \alpha &={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(m-n\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710eb6f9a9a4ad9ae3e8d581cbdf36faeaeb324a)
như vậy:
![{\begin{aligned}\alpha ^{m}&>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{{m-n}}\\[5pt]\alpha ^{n}&>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\\[5pt]\alpha &>{\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13994bed50927b5c7b06ecf6ce5d4f9a33cdb1ae)
Ta suy đi ra điều cần chứng tỏ.
Xem thêm: Có cần làm ướt bàn chải trước khi cho kem đánh răng?
Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]
Các hệ trái khoáy của bất đẳng thức Cauchy[sửa | sửa mã nguồn]
- Tổng của một vài thực dương và nghịch ngợm hòn đảo của chính nó luôn luôn đạt độ quý hiếm ít nhất là 2.
- Hai số thực dương sở hữu tổng ko thay đổi thì tích 2 số bại đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất lúc 2 số bại đều bằng nhau.
- Hai số thực dương sở hữu tích ko thay đổi thì tổng 2 số bại đạt độ quý hiếm nhỏ nhất lúc 2 số bại đều bằng nhau.
Ý nghĩa hình học tập của những hệ trái khoáy nêu trên[sửa | sửa mã nguồn]
Trong những hình chữ nhật sở hữu nằm trong chu vi, hình vuông vắn sở hữu diện tích S rộng lớn nhất
Trong những hình chữ nhật sở hữu nằm trong diện tích S, hình vuông vắn sở hữu chu vi nhỏ nhất
Trong những nghành nghề dịch vụ khác[sửa | sửa mã nguồn]
Việc dùng bất đẳng thức hùn tất cả chúng ta thật nhiều trong những công việc giải những phương trình vô tỉ. Ứng dụng vô Vật lý học tập nhằm tham khảo hiệu suất cực lớn.
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
- Bất đẳng thức Ky Fan
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
- Arthur Lohwater (1982). “Introduction lớn Inequalities”. Online e-book in PDF format.
- Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821 (tiếng Pháp)
Bình luận